실습 · 연습문제 2개

Ornstein–Uhlenbeck(OU) 과정은 평균 $\mu$로 되돌아가는 힘과 잡음을 함께 받는 확률과정이다.

$$dX_t = \theta(\mu - X_t)\,dt + \sigma\,dW_t$$

Euler–Maruyama 방법은 시간 간격 $\Delta t$마다

$$X_{k+1} = X_k + \theta(\mu - X_k)\,\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\;\xi_k, \qquad \xi_k \sim \mathcal{N}(0, 1)$$

로 갱신한다. 함수 simulate_ou(x0, theta, mu, sigma, dt, n_steps, n_paths, rng)를 완성해 shape (n_steps + 1, n_paths)인 배열을 반환한다. 0번째 행은 모든 경로에서 x0이고, k번째 행은 시각 $k\,\Delta t$의 값이다. 난수는 인자로 받은 rng만 쓴다.

테스트는 다음을 확인한다.

• shape과 초기값
• 잡음이 없으면($\sigma = 0$) 결정론적 갱신 $X_k = \mu + (x_0 - \mu)(1 - \theta\Delta t)^k$
• 한 step 뒤의 분산이 $\sigma^2 \Delta t$ (잡음의 크기가 $\Delta t$가 아니라 $\sqrt{\Delta t}$에 비례한다)
• 평균이 $\mu + (x_0 - \mu)e^{-\theta t}$에 가깝고, 오래 지나면 분산이 정상 분산에 가까운지

힌트: 경로 방향으로는 벡터화하고, 시간 방향으로는 반복문을 쓴다.

상태가 $K$개인 Markov chain의 전이행렬 $\mathbf{P}$는 $P_{ij} = \Pr(X_{t+1} = j \mid X_t = i)$이고, 각 행의 합이 1이다. 정상분포 $\boldsymbol{\pi}$는 행벡터로서

$$\boldsymbol{\pi}\mathbf{P} = \boldsymbol{\pi}, \qquad \sum_i \pi_i = 1, \qquad \pi_i \ge 0$$

을 만족한다. 함수 stationary_distribution(P)를 완성해 shape (K,)인 $\boldsymbol{\pi}$를 반환한다. 체인은 기약(irreducible)이라고 가정해도 된다. 즉 정상분포는 하나뿐이다.

테스트는 두 상태 체인의 공식 $\boldsymbol{\pi} = \big(b, a\big)/(a + b)$(여기서 $a = P_{12}$, $b = P_{21}$), 각 열의 합도 1인 이중 확률행렬(정상분포가 균등), 그리고 무작위 전이행렬에서 $\boldsymbol{\pi}\mathbf{P} = \boldsymbol{\pi}$를 확인한다.

힌트: $\boldsymbol{\pi}\mathbf{P} = \boldsymbol{\pi}$를 전치하면 $\mathbf{P}^\top \boldsymbol{\pi}^\top = \boldsymbol{\pi}^\top$, 즉 $\mathbf{P}^\top$의 고윳값 1에 대한 고유벡터다. $\mathbf{P}$의 고유벡터를 쓰면 모든 성분이 같은 벡터가 나온다(왜 그런지 생각해 본다). 고유벡터 대신 $(\mathbf{P}^\top - \mathbf{I})\boldsymbol{\pi}^\top = \mathbf{0}$에 $\sum_i \pi_i = 1$을 한 줄 더 붙여 최소제곱으로 풀어도 된다.