실습 · 연습문제 2개

관찰 데이터에서 처치 $T \in \{0, 1\}$(예: 첨가제 사용)의 평균 효과 $E[Y \mid do(T=1)] - E[Y \mid do(T=0)]$를 추정한다. 교란 변수 $Z$가 처치와 결과에 함께 영향을 주므로 단순 비교는 편향된다. $Z$가 backdoor 경로를 모두 막는다고 가정하면, 성향점수 $e(Z) = P(T = 1 \mid Z)$로 가중해 이 편향을 없앨 수 있다. 세 함수를 완성한다.

1. naive_difference(y, t): 처치군 평균 − 대조군 평균.
2. propensity(Z, t, iters=25): 절편을 포함한 로지스틱 회귀 $e = \sigma(w_0 + \mathbf{w}^\top\mathbf{z})$를 Newton 방법으로 적합해 샘플마다의 $e_i$, shape (N,)을 반환한다. Z는 shape (N, p)다. Newton 갱신은 $\mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} + (\mathbf{X}^\top\mathbf{W}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top(\mathbf{t} - \mathbf{e}), \qquad \mathbf{W} = \operatorname{diag}(e_i(1 - e_i))$ 이고 $\mathbf{X}$는 Z 앞에 1의 열을 붙인 행렬, 초기값은 $\mathbf{w} = \mathbf{0}$이다.
3. ipw_effect(y, t, e): 정규화한 역확률 가중(IPW) 추정량 $\hat{\tau} = \frac{\sum_i t_i y_i / e_i}{\sum_i t_i / e_i} - \frac{\sum_i (1 - t_i) y_i / (1 - e_i)}{\sum_i (1 - t_i) / (1 - e_i)}.$

테스트는 손으로 계산할 수 있는 예, 로지스틱 회귀의 기울기 조건($\mathbf{X}^\top(\mathbf{t} - \mathbf{e}) = \mathbf{0}$), 그리고 교란이 있는 시뮬레이션에서 단순 비교는 크게 빗나가고 IPW는 참 효과에 가까운지를 확인한다.

셀 $N$개의 관측 시간 $t_i$와 고장 여부 $\delta_i$(1 = 고장 관측, 0 = 중도절단)가 주어진다. Kaplan–Meier 추정량은 고장이 관측된 서로 다른 시각 $t_{(1)} < t_{(2)} < \cdots$마다

로 생존함수를 추정한다. $d_j$는 시각 $t_{(j)}$에 고장 난 수, $n_j$는 그 시각 직전까지 고장도 중도절단도 되지 않은 수(위험 집합의 크기, $t_i \ge t_{(j)}$인 $i$의 수)다. 두 함수를 완성한다.

1. kaplan_meier(time, event): (t_j, S_j)를 반환한다. t_j는 고장이 관측된 서로 다른 시각의 오름차순 배열, S_j는 각 시각 직후의 $\hat{S}$다. 둘 다 shape (J,).
   • 같은 시각에 고장과 중도절단이 함께 있으면, 중도절단된 셀은 그 시각의 위험 집합에 포함한다(관례: 중도절단은 고장 직후에 일어난 것으로 본다).
2. km_median(t_j, S_j): $\hat{S}(t) \le 0.5$가 처음 되는 시각을 반환한다. 끝까지 0.5 아래로 내려가지 않으면 np.inf를 반환한다(관측 기간 안에서 중앙값을 추정할 수 없다는 뜻).

테스트는 손으로 계산한 예, 중도절단이 없으면 경험 생존함수와 같아지는지, 같은 시각의 동점 처리, 그리고 중도절단이 많은 시뮬레이션에서 참 생존함수에 가까운지를 확인한다.